Hubungan Sudut Berpenyiku, Berpelurus, dan Bertolak Belakang

         Pada kali ini kita akan membahas materi Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku, Berpelurus, dan Bertolak Belakang. Pada materi sebelumnya "Konsep Sudut dan Jenis-jenis Sudut", kita telah mempelajari jenis-jenis sudut yang salah satunya sudut siku-siku ($90^\circ$) dan sudut lurus ($180^\circ$). Dari hubungan antar sudut, kita akan mempelajari tiga jenis hubungan yaitu sudut berpelurus, sudut berpenyiku, dan sudut bertolak belakang. Perhatikan gambarnya berikut ini,

Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku (berkomplemen)

       Dua atau lebih sudut dikatakan berpenyiku jika jumlah semua sudutnya $90^\circ \,$ atau semua sudutnya membentuk sudut siku-siku. Misalkan gambar di bawah ini,

Keterangan :
*). Sudut $r \,$ dan $s \,$ disebut saling berpenyiku, artinya penyiku dari $r \,$ adalah $s \,$ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $x , \, y , \,$ dan $z \,$ juga disebut saling berpenyiku.

Contoh :
1). Tentukan besar sudut penyiku dari sudut-sudut
a). $37^\circ$
b). $65^\circ$
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut penyiku dari $37^\circ \,$ adalah $x \,$ maka
$x + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow x = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$
Jadi, penyiku dari sudut $37^\circ \,$ adalah $53^\circ$ .

b). Misalkan sudut penyiku dari $65^\circ \,$ adalah $y \,$ maka
$y + 65^\circ = 90^\circ \rightarrow y = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$
Jadi, penyiku dari sudut $65^\circ \,$ adalah $25^\circ$ .

2). Sudut $z \,$ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut penyikunya, tentukan besar sudut $z \,$ dan penyikunya?
Penyelesaian :
*). Misalkan penyiku dari $z \,$ adalah $x \,$ ,
kita peroleh : $z = \frac{1}{3} x \,$ atau $x = 3z$
*). Jumlah sudut-sudut berpenyiku adalah $90^\circ$
$z + x = 90^\circ \rightarrow z + 3z = 90^\circ \rightarrow 4z = 90^\circ \rightarrow z = \frac{90^\circ}{4} = 22,5^\circ$
Diperoleh besar $z = 22,5^\circ$
Sudut penyikunya : $x = 3z = 3 \times 22,5^\circ = 67,5^\circ$

Jadi, besar $z = 22,5^\circ \,$ dan penyikunya adalah $67,5^\circ$

3). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $x \,$ dan $b \,$ dari masing-masing gambarnya!

Penyelesaian :
*). Gambar a), sudut-sudut $2x, \, 3x , \,$ dan $x \,$ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $90^\circ$
$2x + 3x + x = 90^\circ \rightarrow 6x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{6} = 15^\circ$
Jadi, besar $x = 15^\circ$

*). Gambar b), sudut-sudut $6x, \,$ dan $14x \,$ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $90^\circ$
$6x + 14x = 90^\circ \rightarrow 20x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{20} = 4,5^\circ$
Jadi, besar $x = 4,5^\circ$

*). Gambar c), sudut-sudut $2x, \, 5x , \,$ dan $2x \,$ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $90^\circ$
$2x + 5x + 2x = 90^\circ \rightarrow 9x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{9} = 10^\circ$
Jadi, besar $x = 10^\circ$

*). Gambar a), sudut-sudut $b, \,$ dan $37^\circ \,$ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $90^\circ$
$b + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow b = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$
Jadi, besar $b = 53^\circ$

Hubungan Antar Sudut : Berpelurus (bersuplemen)

       Dua atau lebih sudut dikatakan berpelurus jika jumlah semua sudutnya $180^\circ \,$ atau semua sudutnya membentuk sudut lurus (garis lurus). Misalkan gambar di bawah ini,

Keterangan :
*). Sudut $t \,$ dan $u \,$ disebut saling berpelurus, artinya pelurus dari $t \,$ adalah $u \,$ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $x , \, y , \,$ dan $z \,$ juga disebut saling berpelurus.

Contoh :
1). Tentukan besar sudut pelurus dari sudut-sudut
a). $70^\circ$
b). $120^\circ$
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut pelurus dari $70^\circ \,$ adalah $x \,$ maka
$x + 70^\circ = 180^\circ \rightarrow x = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$
Jadi, pelurus dari sudut $70^\circ \,$ adalah $110^\circ$ .

b). Misalkan sudut pelurus dari $120^\circ \,$ adalah $y \,$ maka
$y + 120^\circ = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
Jadi, pelurus dari sudut $120^\circ \,$ adalah $60^\circ$ .

2). Sudut $z \,$ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut pelurusnya, tentukan besar sudut $z \,$ dan pelurusnya?
Penyelesaian :
*). Misalkan pelurus dari $z \,$ adalah $x \,$ ,
kita peroleh : $z = \frac{1}{3} x \,$ atau $x = 3z$
*). Jumlah sudut-sudut berpelurus adalah $180^\circ$
$z + x = 180^\circ \rightarrow z + 3z = 180^\circ \rightarrow 4z = 180^\circ \rightarrow z = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$
Diperoleh besar $z = 45^\circ$
Sudut pelurusnya : $x = 3z = 3 \times 45^\circ = 135^\circ$
Jadi, besar $z = 45^\circ \,$ dan pelurusnya adalah $135^\circ$

3). Dari gambar di bawah ini, tentukan besar sudut KON dan sudut MON ?

Penyelesaian :
*). Dari gambar, sudut $2x , \, 3x , \,$ dan $85 \,$ adalah berpelurus sehingga jumlahnya $180^\circ$
*). Menentukan nilai $x$ :
$2x + 3x + 85^\circ = 180^\circ \rightarrow 5x = 180^\circ - 85^\circ \rightarrow 5x = 95^\circ \rightarrow x = \frac{95^\circ}{5} = 19^\circ$
*). Menentukan besar sudut KON dan MON :
$\angle KON = 2x = 2 \times 19^\circ = 38^\circ$
$\angle MON = 3x = 3 \times 19^\circ = 57^\circ$
Jadi, besar $\angle KON = 38^\circ \,$ dan $\, \angle MON = 57^\circ$ .

4). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $a \,$ dan $c \,$ dari masing-masing gambarnya!

Penyelesaian :
*). Gambar a), sudut-sudut $2a, \,$ dan $a \,$ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $180^\circ$
$2a + a = 180^\circ \rightarrow 3a = 180^\circ \rightarrow a = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ$
Jadi, besar $a = 60^\circ$

*). Gambar b), ketiga sudut $c \,$ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $180^\circ$
$c + c + c = 180^\circ \rightarrow 3c = 180^\circ \rightarrow c = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ$
Jadi, besar $c = 60^\circ$

Hubungan Antar Sudut : Bertolak Belakang

       Jika dua sudut bertolak belakang, maka besar sudutnya sama.
Perhatikan gambar berikut,

*). Sudut AOB bertolak belakang dengan sudut COD,
sehingga $\angle AOB = \angle COD$
*). Sudut BOC bertolak belakang dengan sudut AOD,
sehingga $\angle BOC = \angle AOD$

Contoh :
1). Perhatikan gambar berikut, tentukan nilai $x + y + z$ ?

Penyelesaian :
*). Sudut $2x \,$ dan $120^\circ \,$ adalah bertolak belakang,
$2x = 120^\circ \rightarrow x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
*). Sudut $3y \,$ dan $42^\circ \,$ adalah bertolak belakang,
$3y = 42^\circ \rightarrow y = \frac{42^\circ}{3} = 14^\circ$
*). Sudut $5z+3 \,$ dan $68^\circ \,$ adalah bertolak belakang,
$5z + 3 = 68^\circ \rightarrow 5z = 65^\circ \rightarrow z = \frac{65^\circ}{5} = 13^\circ$
*). Menentukan hasilnya :
$x + y + z = 60^\circ + 14^\circ + 13^\circ = 87^\circ$
Jadi, nilai $x + y + z = 87^\circ$ .

2). Perhatikan gambar berikut,

a). tentukan pasangan sudut yang saling bertolak belakang,
b). tentukan besar ketiga sudut yang lainnya.
Penyelesaian :
a). Pasangan sudut-sudut yang bertolak belakang :
$\angle BOD \,$ bertolak belakang dengan $\, \angle AOC$
$\angle BOC \,$ bertolak belakang dengan $\, \angle AOD$
b). Menentukan besar sudut yang lainnya, dengan $\angle AOC = 35^\circ$
*). $\angle BOD \,$ bertolak belakang dengan $\, \angle AOC$
sehingga $\angle BOD = \angle AOC \rightarrow \angle BOD = 35^\circ$
*). $\angle AOC \,$ dan $\angle BOC \,$ berpelurus sehingga :
$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow 35^\circ + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow \angle BOC = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$
*). $\angle BOC \,$ bertolak belakang dengan $\, \angle AOD$
sehingga $\angle AOD = \angle BOC = 145^\circ$
Jadi, diperoleh : $\angle BOD = 35^\circ , \, \angle BOC = 145^\circ , \,$ dan $\, \angle AOD = 145^\circ$